Väestöennusteiden perustana olevat olettamukset ovat epävarmoja. Perinteisissä ennusteissa tulevaisuuden epävarmuutta on pyritty kuvaamaan käyttämällä ns. ylä- ja alaennusteita todennäköisimmän keskiennusteen ohella. Esimerkiksi alaennusteita laskettaessa on käytetty matalaa hedelmällisyyttä ja nettomuuttoa sekä korkeaa kuolleisuutta; ja vastaavasti yläennusteita laskettaessa korkeaa hedelmällisyyttä ja nettomuuttoa sekä matalaa kuolleisuutta. (Keilman 1997). Vaihtoehdon tarjoavat stokastiset ennusteet, joita on Yhdysvalloissa käytetty mm. eläkejärjestelmien taloudellisen kestävyyden tarkasteluun (Lee ja Tuljapurkar 1997, Tuljapurkar, Lee ja Anderson 1999).
Ennusteen epävarmuuden kuvaaminen ylä- ja alaennusteiden avulla on ongelmallista. Vaikka hedelmällisyydelle, kuolevuudelle ja nettomuutolle olisi kullekin annettu omat ylä- ja alaennusteet sisäisesti johdonmukaisella tavalla, niin mikään ei takaa, että eri prosesseille laaditut ennustevälit sisältävät prosessin tulevan arvon samalla todennäköisyydellä. Edelleen, vaikka ennustevälien käyttö olisi yhdenmukaista, ongelmana ovat väestön määriä koskevat todennäköisyydet. Kun ylä- ja alaennusteet yhdistetään, tuloksena saadun ennustevälin todennäköisyys sisältää tulevan väestön määrä muuttuu. Jos esimerkiksi syntyneiden määrälle annettu 80 %:n väli olisi [BL, BH] ja kuolleiden määrän vastaava väli olisi [DL, DH], niin väestön muutosta vastaava ennusteväli on [IL, IH], missä IL = BL - DH ja IH = BH - DL. Tämän välin todennäköisyys sisältää tuleva väestön muutos on yleensä suurempi kuin 80 % (Törnqvist 1949). Ainoastaan, jos hedelmällisyyden ja kuolevuuden korrelaatio olisi -1, niin todennäköisyys olisi voimassa myös lasketuissa ennusteissa. (Alho J. 1998)
Ylä- ja alaennusteiden sijaan on mahdollista muodostaa ennustejakauma tulevan väestökehityksen kuvaamiseksi. Ennustejakaumalla tarkoitetaan sellaista tulevan väestön todennäköisyysjakaumaa, joka on ehdollinen kaikelle sille tiedolle, joka oli tunnettua ennustehetkellä. PEP (Program for Error Propagation) on ennustejakaumien tekemiseen kehitetty tietokoneohjelma, joka käyttää simulointitekniikkaa (Sormunen, Alho ja Spencer 1999). Ennustejakaumasta voidaan laskea mitä tahansa haluttuja ennustevälejä, esimerkiksi ala- ja yläkvartiileja. Jakauman mediaania voidaan usein käyttää keskiennusteena. PEP on tarkoitettu yhden alueen ennusteiden laskemiseen ja sillä voidaan mm. approksimoida Leen ja Tuljapurkarin (1994) tekemiä stokastisia ennusteita. Kehitteillä on myös useamman alueen versio M-PEP, jolla voidaan laskea monen alueen väestöennusteet vastaavalla menetelmällä.
PEP on tarkoitettu väestöennusteiden tekijöille (tilastojentuottajat, tutkijat) ja toisaalta käyttäjille, jotka tarvitsevat tietoja tulevaisuuden kehityksestä päätöksentekoon tai esimerkiksi tutkimusta varten. Ohjelmasta saadaan tuloksena simulointituloksia sisältävä ennustetietokanta, jota voidaan käyttää millä tahansa tilastollisella -, taulukkolaskenta- tai graafisella ohjelmistolla tuloksien kuvaamiseksi. PEP:n käyttäjät voidaan jakaa siten varsinaisen ennustetietokannan tekijöihin/käyttäjiin tai toisaalta yksinomaan valmiin tietokannan käyttäjiin.
PEP perustuu simulointitekniikkaan. Väestöennusteita on yleensä laskettu käyttämällä yksinomaan annettuja piste-ennusteita kullekin ennustevuodelle. Nämä piste-ennusteet on muodostettu käyttämällä menneisyyden antamaa tietoa ja arviointia tulevaisuuden kehityksestä. Laskennan tuloksena on tällöin yksi tulevaisuuden väestökehityksen kuvaus. Mitä voidaan kuitenkaan sanoa ennusteen luotettavuudesta? Kuinka paljon laskettu ennuste voi poiketa todellisesta väestökehityksestä?
PEP-ohjelmassa lasketaan tulevaisuuden väestökehitys vastaavalla tavalla annettuja piste-ennusteita käyttäen. Erona perinteisiin menetelmiin nähden on se, että annettuihin piste-ennusteisiin liitetään virhetermi kuvaamaan ennusteen epävarmuutta. Kullekin ennustevuodelle laskettu virhe koostuu vuosittaisista virheiden lisäyksistä siten, että viimeisen ennustevuoden virhe on summa kaikkien edellisten ennustevuosien virheistä. Käyttäjä voi määritellä virhetermin varianssin kullekin ennustevuodelle ikä- ja sukupuoliryhmittäin erikseen kuolevuudelle, hedelmällisyydelle ja nettomuutolle. Lisäksi käyttäjä määrittelee virhetermien välillä vallitsevan korrelaatiorakenteen (tasakorrelaatio tai AR(1)-malli).
Ohjelmassa käytettävä virhetermi koostuu seuraavista osatekijöistä. Olkoon X(j,t) esimerkiksi ikäryhmittäisen hedelmällisyyden (logaritmin) virhe hetkellä t iässä j. Tällöin on voimassa
X(j,t) = e(j,1) + e(j,2) + ... + e(j,t),
missä vuosittaiset virheen lisäykset ovat muotoa
e(j,t) = S(j,t)(hj + d(j,t)).
Edellä olevat S(j,t):t ovat käyttäjän määrittelemiä positiivisia kertoimia, joiden avulla voidaan määrätä virhetermin vuotuinen varianssi. Termien hj tarkoitus on kuvata virheitä ennustetussa trendissä ja termien d(j,t) tarkoitus on vastaavasti kuvata vähitellen kasvavaa ennustamatonta satunnaisvaihtelua trendin ympärillä. Kussakin iässä termit d(j,t) ovat riippumattomia. Lisäksi muuttujien ej muodostama joukko ja muuttujien d(j,t) muodostama joukko ovat riippumattomia toisistaan. hj:t ja d(j,t):t noudattavat normaalijakaumaa siten, että
ej ~ N(0,kj), d(j,t) ~ N(0,1-kj),
missä kj:t ovat virheiden lisäysten välisiä autokorrelaatioita.
Lisäksi on voimassa Corr(hi,hj) = rh| i - j | tai Corr(hi, hj) = rh, missä rh on käyttäjän antama korrelaatioparametri. Vastaavasti Corr(di, dj) = rd| i - j | tai Corr(di,dj) = rd. Käytettävän korrelaatiomallin valitsee käyttäjä. Lisää virhetermin rakenteesta ja tulkinnasta on julkaisuissa Alho and Spencer (1997) ja Alho (1998).
Kun virhetermit on generoitu, yhdistetään käyttäjän antamat piste-estimaatit virhetermeihin. Esimerkiksi, jos f(j,t) on käyttäjän antama piste-estimaatti hedelmällisyydelle iässä j vuonna t ja X(j,t) on vastaava generoitu virhetermi, saadaan
F(j,t) = exp(f(j,t) + X(j,t)).
Kun jokaisella simulointikerralla lasketaan uudet virhetermit annetuille piste-estimaateille, saadaan kullekin ennustevuodelle yhden ennustetun arvon sijasta yksi otos ennustejakaumasta, joka muodostuu simulointikertojen lukumäärästä.
Kerroin- ja korrelaatioparametrien vapaan valinnan vuoksi malli on joustava käyttäjän kannalta. Kertoimien avulla voidaan määritellä virhetermien varianssit ja korrelaatioparametrien avulla vuosittaisten lisäysten väliset korrelaatiot. Rajoituksena on termien hj ja d(j,t) normaalijakaumaoletus sekä käyttäjän määrittelemä virhetermin varianssin suuruutta koskeva rajoitus tietystä ajan hetkestä eteenpäin.
Ohjelman tarvitsemina syöttötiedostoina käyttäjä antaa lähtöväestön sekä piste-ennusteet kuolevuudelle, hedelmällisyydelle ja nettomuutolle ikä- ja sukupuoliryhmittäin. Yksittäisinä parametreina käyttäjä antaa simulointikertojen lukumäärän, ennustevuosien määrän, alimman- ja ylimmän hedelmällisyysiän sekä korkeimman ikäryhmän. Virhetermien muodostamiseksi ohjelma tarvitsee kuolevuuden, hedelmällisyyden ja nettomuuton virhetermien muodostamisessa käytettäviä parametreja sekä virhetermeihin käytettävän korrelaatiomallin.
Simuloinnin aikana lasketaan jokaisella simulointikerralla tuleva väestökehitys ikä- ja sukupuoliryhmittäin kullekin ennustevuodelle. Tätä yhden simulointikerran aikana syntyvää väestökehityksen tulosta nimitetään otospoluksi (sample path). Kullakin simulointikerralla saadaan näin yksi otos ennustejakaumasta. Kun laskentaa toistetaan useita kertoja saadaan poluista ennustejakauma. Ennustejakauma on moniulotteinen vektori, jonka dimensio muodostuu ohjelmassa käytettävien parametrien mukaan. Jos korkein ikä on esimerkiksi 100, sukupuolia 2 ja ennustevuosia 50, saadaan yhden otoksen sisältävän vektorin dimensioksi 10000.
PEP-ohjelma vaatii tietokoneelta paljon muistia ja levytilaa. Esimerkiksi jos ohjelmassa käytettävä korkein ikä on 100 vuotta, ennustevuosia on 50 ja simulointikertoja 1000, niin yksittäiset otospolut sisältävät tiedostot ja vuosittaiset tiedostot vievät levytilaa 196 - 222 MB riippuen koneen käyttämästä allokointiyksiköstä (0.5 - 32 KB). Jos ohjelman halutaan tulostavan vielä ikäryhmittäin yhdisteltyjä tiedostoja, esim. 5-vuotisikäryhmiin perustuvia, kasvaa levytilan tarve 20 - 43 MB riippuen valituista ryhmistä ja koneen käyttämästä allokointiyksiköstä. Vastaavasti muistia tarvitaan noin 80 MB ko. sovelluksen pyörittämiseksi. Jos simulointikertojen määrä vähenee 500:aan ja vuosien määrä 30:een on muistin tarve noin 25 MB.
Ohjelmasta saadaan tuloksena tietokanta, jossa yksittäiset otospolkutiedostot kultakin simulointikerralta sisältävät väestöennusteet kullekin ennustevuodelle.
Esimerkkinä kuviossa 1 on 10 eri otospolkua, jotka kuvaavat alle kouluikäisten lukumäärää seuraavien 30 vuoden kuluessa
| 10 eri otospolkua, jotka kuvaavat alle kouluikäisten lukumäärää seuraavien 30 vuoden kuluessa |
ja vastaavanlaiset otospolut 65-vuotta täyttäneiden lukumääristä seuraavien 30 vuoden kuluessa kuviossa 2.
| 10 eri otospolkua 65-vuotta täyttäneiden lukumääristä seuraavien 30 vuoden kuluessa |
Otospolkuja sisältävät tiedostot on nimetty kunkin simulointikerran mukaisesti. Esim. jos simulointikierroksia on 500 ja ennustevuosien lukumäärä on 30, tuottaa ohjelma tiedostot P1_d1.S1, P2_d1.S1,..., P500_d1.S1. Vuosittaiset tiedostot on nimetty vastaavasti kunkin ennustevuoden mukaisesti siten, että esimerkkitapauksessa ohjelma tuottaisi tiedostot Y1_d1.S1, Y2_d1.S1,..., Y30_d1.S1. Lisäksi PEP tuottaa varsinaisen ennustetietokannan lisäksi tiedoston P0_d1.S1, missä väestöennusteet on laskettu ilman virhetermiä.
Esimerkiksi 4. simulointikierrosta vastaava otospolku tiedosto P4_d1.S1 voisi näyttää seuraavanlaiselta (simulointikierroksia 500, ennustevuosia 30, korkein ikä 100):
M 0 M 1 M 2 ... M 99 M 100 F 0 F 1 ... F 98 F 99 F100
32383 30029 31134 ... 40 26 31124 29102 ... 250 168 205
30461 32426 30083 ... 39 33 29275 31162 ... 304 172 222
30187 30522 32496 ... 40 41 29004 29322 ... 279 210 234
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(26 riviä)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
29177 30276 30618 ... 37 42 28031 29072 ... 315 196 266
Kullakin pystyrivillä on ennustetut ikäryhmittäiset väestönmäärät jokaiselle 30 ennustevuodelle 4. simulointikierroksella. Ensimmäinen pystyrivi sisältää 0-vuotiaiden miesten määrän siten, että 1. vaakarivillä on 1. ennustevuoden tulos, 2. vaakarivillä 2. ennustevuoden tulos, ... ja viimeisellä vaakarivillä 30. ennustevuoden tulos. Vastaavasti muut pystyrivit.
Tiedosto sisältää yhtä monta riviä kuin on ennustevuosia. Vastaavasti vuosittainen tiedosto esim. Y3_d1.S1 ennustevuodelle 3 sisältää yhtä monta riviä kuin on simulointikierroksia.
M 0 M 1 M 2 ... M 99 M 100 F 0 F 1 ... F 98 F 99 F 100
28914 29930 29888 ... 36 29 27784 28729 ... 250 197 217
28983 28719 29739 ... 42 39 27863 27622 ... 285 208 265
27966 29850 30135 ... 34 27 26876 28673 ... 260 196 231
30187 30522 32496 ... 40 41 29004 29322 ... 279 210 234
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
(496 riviä)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Kullakin pystyrivillä on ennustetut ikäryhmittäiset väestönmäärät jokaiselta 500 simulointikierrokselta 3. ennustevuotena. Ensimmäinen pystyrivi sisältää 0-vuotiaiden miesten määrän siten, että 1. vaakarivillä on 1. simulointikierroksen tulos, 2. vaakarivillä 2. simulointikierroksen tulos, ... ja viimeisellä vaakarivillä 500. simulointikierroksen tulos. Vastaavasti muut pystyrivit.
Edellä olevasta esimerkistä nähdään, että otospolkukohtaisesta tiedostossa i:nnettä ennustevuotta vastaava rivi on vuosittaisessa tiedostossa sen rivin kohdalla mistä otospolusta tiedot on kerätty.
PEP-ohjelmassa voidaan tuottaa myös ikäryhmittäin yhdistettyjä tiedostoja. Tämä tarkoittaa sitä, että annetuista ikäryhmistä muodostetaan ryhmiä käyttäjän toiveiden mukaisesti. Oletusarvona on 5-vuotis ikäryhmät. Ikäryhmiä voidaan muodostaa siten, että ne sisältävät ainoastaan yhden sukupuolen sisältämät tiedot tai molemmat sukupuolet joko yhdessä tai erikseen. Käyttäjä voi halutessaan muodostaa yhdistettyjä tiedostoja joko otospolkukohtaisista tiedostoista tai vuosittaisista tiedostoista tai molemmista.
Seuraavana on esimerkiksi yhdistetystä tiedostosta, missä miehet ja naiset ovat yhdistetty samoihin ryhmiin (ikäryhmät 0-14, 15-64 ja 65-100, korkein ikä 100)
0-14 15-64 65-100
952630 3450528 761153
950917 3450447 761028
... ... ...
954464 3452360 758464
Vastaavasti yhdistetty tiedosto, missä miehet ja naiset ovat käsitelty erikseen (ikäryhmät 0-14, 15-64 ja 65-100, korkein ikä 100)
M 0-14 M 15-64 M 65-100 F 0-14 F 15-64 F 65-100
476513 1755842 304604 458047 1719383 479829
481220 1756619 300830 461812 1718904 479019
... ... ... ... ... ...
478955 1756941 298470 459935 1721789 476629
Yhdisteltyjä tiedostoja voidaan tuottaa myös erikseen ohjelmalla COMBINE, jossa syöttötietoina annetaan samat tiedot kuin edellä on kerrottu. Ohjelman COMBINE käyttö edellyttää että PEP-ohjelmalla on tuotettu alkuperäiset 1-vuotis ikäryhmissä olevat otospolut sisältävät tiedostot ja vuosittaiset tiedostot.
PEP-ohjelmaa käyttäen on laadittu Suomen väkilukua koskeva ennuste vuosille 1999 - 2050. Virhetermien muodostamisessa on oletettu, että tulevaisuuden epävarmuus on samaa luokkaa kuin menneisyydessä, yksityiskohtaiset tiedot esimerkistä löytyvät julkaisusta Alho (1998).
Kuviossa 3 on Suomen kokonaisväestön mediaaniennuste (keskellä) ja 50% ja 80%:n ennustevälit. Vastaavanlainen kuvio voitaisiin muodostaa mistä tahansa valitusta ryhmästä, esimerkiksi työikäisestä väestöstä (15 - 64 -vuotiaat) tai hedelmällisyysikäisestä naisväestöstä. Kuvioista nähdään selvästi kuinka epävarmuus kasvaa, kun ennustevuosien määrä kasvaa.
| Suomen kokonaisväestön mediaaniennuste (keskellä) ja 50% ja 80%:n ennustevälit |
Kuviossa 4 on Suomen kokonaisväkiluvun ennustejakauma vuodelle 2030. Kuviossa käytettyjen simulointikertojen lukumäärä on 1500. Kun simulointikertojen lukumäärä kasvaa, tulee histogrammista yhä sileämpi. Vastaavasti mitä vähemmän on simulointikertoja, sitä 'rosoisempi' tulee kuviosta. Tästä huolimatta jo pienilläkin simulointikertojen lukumäärillä saadaan histogrammin muoto ja sijainti selville.
| Suomen kokonaisväkiluvun ennustejakauma vuodelle 2030 |
Kuviota 4 varten tarvitaan vuosittainen tiedosto vuodelle 2030, joka sisältää kokonaisväkiluvun kullekin simulointikerralle. Yllä oleva kuvio on muodostettu seuraavanlaisesta tiedostosta:
0-100
4824810
4910126
5460454
5580107
4431167
5520283
... (1490 riviä)
5833488
5123728
5854924
5040171
Kuviossa 5 on väestöpyramidi vuodelle 2010 5-vuotis ikäryhmittäin ja kuviossa 6 vastaava pyramidi vuodelle 2030. Kuviot sisältävät 80 %:n ennustevälit. Kuvioista nähdään kuinka epävarmuus on suurimmillaan nuorimmissa ikäryhmissä. Tämä selittyy hedelmällisyyden epävarmuudella. Vastaavasti kuolevuuden epävarmuus näkyy vain hiukan keskimmäisissä ikäryhmissä, mutta selvästi jo vanhemmissa ikäryhmissä. Kuvioita vertailemalla nähdään kuinka väestö vanhenee ja pyramidi alkaa muistuttaa 'ylösalaisin olevaa päärynää'. Vaikka hedelmällisyys olisikin tulevaisuudessa suurempaa kuin mitä on arvoitu, on hyvin epätodennäköistä, että pyramidi muistuttaisi perinteistä 'kolmiomaista' pyramidia.
| väestöpyramidi vuodelle 2010 5-vuotis ikäryhmittäin |
| väestöpyramidi vuodelle 2030 5-vuotis ikäryhmittäin |
Kuviossa 7 on ikäriippuvuussuhteen ennustejakauma vuosille 2010, 2030 ja 2050 boxplot- kuviona. Ikäriippuvuussuhde on laskettu 0 - 14 ja yli 65 -vuotiaiden yhteenlaskettuna määränä verrattuna työikäiseen väestöön eli 15 - 64 -vuotiaisiin. Kukin kuvio sisältää keskimmäiset 50 % lasketusta ennusteesta. Poikkiviiva kuvioiden sisällä on mediaani. Kuviosta nähdään selvästi, että nykyinen ikäriippuvuussuhteen taso ei mitä todennäköisimmin tule säilymään tulevina vuosikymmeninä.
| ikäriippuvuussuhteen ennustejakauma vuosille 2010, 2030 ja 2050 boxplot-kuviona |
Kuviota 7 varten tarvitaan vuosittaiset tiedostot vuosille 2010, 2030 ja 2050, jotka sisältävät ennustetut väestönmäärät ikäryhmissä 0-14, 15-64 ja 65+ kullekin simulointikerralle. Yllä olevan kuvion keskimmäinen boxplot-kuvio on muodostettu seuraavanlaisesta tiedostosta:
0-14 15-64 65-100
666425 2859427 1298958
653529 2848774 1407823
1002554 2969056 1488844
811952 3339961 1428194
563021 2587148 1280998
1054989 3019975 1445319
... ... ...
1049559 3369968 1413961
834547 3018043 1271138
1152082 3421027 1281815
714740 2754801 1570630
Ikäriippuvuussuhde on saatu laskemalla ensimmäisen ja kolmannen pystysarakkeen luvut yhteen ja jakamalle ne keskimmäisen pystysarakkeen arvoilla. Vaakarivit vastaavat simulointikertoja, joita oli tässä esimerkissä 1500.
Alho, J.M. and Spencer, B.D. (1997). The Practical Specification of the Expected Error of Population Forecasts. Journal of Official Statistics, 13, 203-225.
Alho, J.M. and Spencer, B.D. (1999). Statistical Demography and Forecasting. Käsikirjoitus.
Alho, J.M. (1998) A Stochastic Forecast of the Population of Finland. Reviews 1998/4. Tilastokeskus, Helsinki.
Keilman N. (1997) Ex-Post Errors in Official Population Forecasts in Industrial Countries. Journal of Official Statistics, 13, 245-277.
Keyfitz, N. (1977). Introduction to the Mathematics of Population with Revisions. Addison-Wesley, Reading MA.
Lee, R.D. and Tuljapurkar S. (1994) Stochastic Population Forecasts for the U.S.: Beyond High, Medium, and Low. Journal of the American Statistical Association 87, 659-671.
Lee, R.D. and Tuljapurkar S. (1997) Death and Taxes: Longer Life, Consumption, and Social Security. Demography 34, 67-81.
Sormunen, J, Alho, J.M and Spencer, B.D. (1999). PEP - Program for Error Propagation, User's Guide, Käsikirjoitus. http://www.joensuu.fi/statistics/juha.html
Tuljapurkar S, Lee R. and Anderson M. (1999) Effects of Changing Social Security Retirement Age on the Dynamics of the OASDI Program. Paper presented at the Joint ECE-Eurostat Work Session on Demographic Projections, Perugia, Italy, May 1999.
Törnqvist L. (1949) Näkökohdat, jotka ovat määränneet primääristen prognoosiolettamusten valinnan, teoksessa Hyppölä J., Tunkelo A. ja Törnqvist L. (1949) Suomen väestöä, sen uusiutumista ja tulevaa kehitystä koskevia laskelmia. Tilastollisia tiedonantoja 38. Helsinki: tilastokeskus, ss. 68-74.